Les Nombres
Des entiers naturels aux nombres réels : comprends chaque ensemble et ses propriétés
Chapitres
Nombres naturels (ℕ)
Entiers positifs : 0, 1, 2, 3... Opérations de base, divisibilité, multiples
CollègeNombres relatifs (ℤ)
Entiers positifs et négatifs : ..., −2, −1, 0, 1, 2... Règle des signes
CollègeNombres rationnels (ℚ)
Fractions a/b avec b ≠ 0. Développement décimal fini ou périodique
Collège/LycéeNombres irrationnels
√2, π, e... Démonstration que √2 est irrationnel par l'absurde
LycéeNombres réels (ℝ)
Union des rationnels et irrationnels. Droite numérique complète, intervalles
LycéeNombres premiers
Définition, crible d'Ératosthène, décomposition en facteurs premiers
Collège/LycéePGCD et PPCM
Algorithme d'Euclide, applications aux fractions irréductibles
Collège/LycéeArithmétique modulaire
Congruences, divisibilité, critères de divisibilité
TerminaleLes ensembles de nombres
Formules et propriétés essentielles
Inclusion des ensembles
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
PGCD × PPCM
PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b
Algorithme d'Euclide
PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b)
Nombre de diviseurs
Si n = p₁^α₁ × p₂^α₂ → d(n) = (α₁+1)(α₂+1)
Théorème fondamental
Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de premiers
Critère de divisibilité par 3
n divisible par 3 ⟺ somme des chiffres divisible par 3
Critères de divisibilité
| Diviseur | Critère |
|---|---|
| 2 | Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8) |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 |
| 4 | Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 |
| 5 | Le dernier chiffre est 0 ou 5 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 |
| 11 | La somme alternée des chiffres est divisible par 11 |
Exemples résolus
PGCD par l'algorithme d'Euclide
Énoncé : Calculer PGCD(252, 198).
Solution : 252 = 198 × 1 + 54 → 198 = 54 × 3 + 36 → 54 = 36 × 1 + 18 → 36 = 18 × 2 + 0. Donc PGCD(252, 198) = 18.
Décomposition en facteurs premiers
Énoncé : Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
Solution : 360 = 2³ × 3² × 5. Vérification : 8 × 9 × 5 = 360 ✓
Prouver que √2 est irrationnel
Énoncé : Démontrer que √2 ∉ ℚ.
Solution : Par l'absurde : supposons √2 = a/b irréductible. Alors 2b² = a², donc a² pair, donc a pair. Posons a = 2k. Alors 2b² = 4k², donc b² = 2k², donc b pair. Contradiction avec a/b irréductible.
Les 25 premiers nombres premiers
Un nombre premier n'est divisible que par 1 et par lui-même (2 est le seul nombre premier pair)
Exercices Nombres
PGCD, PPCM, décomposition, divisibilité
Fiches de révision
Ensembles, propriétés, algorithmes
