Les Suites Numériques

Maîtrise les suites arithmétiques, géométriques, leur convergence et les raisonnements par récurrence

Chapitres

Généralités sur les suites

Définition, modes de génération (explicite, par récurrence), représentation graphique

Première

Suites arithmétiques

Raison, terme général Uₙ = U₀ + n×r, somme des n premiers termes

Première

Suites géométriques

Raison, terme général Uₙ = U₀ × qⁿ, somme des n premiers termes

Première

Sens de variation

Suite croissante, décroissante, monotone, méthodes de démonstration

Première/Terminale

Convergence et limites

Suite convergente, divergente, théorème des gendarmes, suites bornées

Terminale

Raisonnement par récurrence

Initialisation, hérédité, conclusion — démonstration rigoureuse

Terminale

Formules essentielles

Terme général arithmétique

Uₙ = U₀ + n × r

Somme arithmétique

Sₙ = (n + 1) × (U₀ + Uₙ) / 2

Terme général géométrique

Uₙ = U₀ × qⁿ

Somme géométrique (q ≠ 1)

Sₙ = U₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)

Limite géométrique |q| < 1

lim qⁿ = 0 quand n → +∞

Limite géométrique q > 1

lim qⁿ = +∞ quand n → +∞

Comparaison : arithmétique vs géométrique

Propriété	Suite arithmétique	Suite géométrique
Définition	Uₙ₊₁ = Uₙ + r	Uₙ₊₁ = Uₙ × q
Terme général	Uₙ = U₀ + nr	Uₙ = U₀ × qⁿ
Représentation	Points alignés	Courbe exponentielle
Somme	(n+1)(U₀+Uₙ)/2	U₀(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)
Convergence	Diverge toujours (sauf r=0)	Converge si \|q\| < 1

Exemples résolus

Suite arithmétique — calcul du 50e terme

Énoncé : Soit (Uₙ) arithmétique avec U₀ = 3 et r = 5. Calculer U₅₀.

Solution : Uₙ = U₀ + n × r = 3 + 50 × 5 = 253

Suite géométrique — somme des 10 premiers termes

Énoncé : Soit (Uₙ) géométrique avec U₀ = 2 et q = 3. Calculer S₉.

Solution : S₉ = 2 × (1 − 3¹⁰) / (1 − 3) = 2 × (1 − 59049) / (−2) = 59048

Convergence — théorème des gendarmes

Énoncé : Soit Uₙ = sin(n) / n. Montrer que (Uₙ) converge vers 0.

Solution : On a −1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n. Or lim(−1/n) = lim(1/n) = 0, donc par le théorème des gendarmes, lim Uₙ = 0.

Méthodes clés

Reconnaître le type de suite

Si Uₙ₊₁ − Uₙ = constante → arithmétique. Si Uₙ₊₁ / Uₙ = constante → géométrique.

Étudier la monotonie

Calculer Uₙ₊₁ − Uₙ : si > 0 → croissante, si < 0 → décroissante. Ou étudier f(x) si Uₙ = f(n).

Démontrer par récurrence

1) Initialisation : vérifier P(0). 2) Hérédité : supposer P(n), montrer P(n+1). 3) Conclusion.

Trouver la limite

Identifier la forme (qⁿ, n², 1/n...), utiliser les théorèmes de comparaison, encadrement ou croissances comparées.

Zoom : le raisonnement par récurrence

Étape 1 — Initialisation

Vérifier que la propriété P(n₀) est vraie pour le rang initial (souvent n₀ = 0 ou n₀ = 1).

Étape 2 — Hérédité

Supposer P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ (hypothèse de récurrence). Montrer que P(n+1) est alors vraie.

Étape 3 — Conclusion

Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

Exercices Suites

Calculs de termes, sommes, convergence, récurrence

Fiches de révision

Formulaire complet, méthodes, pièges à éviter